什么是数学模型？（一起来感受数学模型至高深层的美吧）

什么是数学模型？（一起来感受数学模型至高深层的美吧）

本文参与遇见数学＃数学蒲公英＃第3次征文活动，作者殷堰工.

“谈到数学，有人会把它理解为一堆枯燥无味的数学公式，这几乎成为一种普遍的倾向。数学真的那么枯燥无味吗？不，数学的世界是一个充满了美的世界：数的美、式的美、形的美……。在这里，我们可以感受到协调、比例、整一盒匀称；我们也可以感受到布局的合理，结构的严谨，关系的和谐以及形式的简洁。”这是笔者早在 1996 年 5 月 10 日以“美哉，数学”为题发表在科技类国家级主流媒体《中国科学报》上文章的引言，旨在应证“数学是一种大美”这个主题。只是由于当时认知的局限，对数学之美的感受仅是停留在表象，没有理解数学模型方法所产生的深层次美感，文中也就无从提起了。

众所周知，数学具有高度抽象性，严密逻辑性和广泛应用性等三大特性，其中，应用性是数学这门科学旺盛生命力的集中显现，数学大师华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”。这段话，精辟概括了数学应用的广泛性。数学应用于经济社会的方方面面，关键在于数学建模，数学模型方法已成为最为重要且引人注目的数学方法。近期人们广为关注的新冠病毒传播的研究，就是数学家们运用数学模型进行科学预测、科学决策的良好例证。国家顶尖学术刊物《中国科学》杂志载文认为：数学模型在新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情的预测、预警和风险分析中具有非常重要的作用。

那么，什么是数学模型方法？要回答这个问题，首先需要了解什么是模型？数学模型又是什么？所谓模型，就是人们为了某种特定的目的，对认识对象所作的一种简化的描述。按照百度百科的定义：数学模型是用符号、函数关系将评价目标和内容系统规定下来，并把互相间的变化关系通过数学公式表达出来。数学模型属于应用数学，它涉及到纯数学与其他学科的交互作用。以此可以解释：数学模型方法是利用符号、函数关系将评价目标和内容系统规定下来，并把互相间的变化关系通过数学公式表达出来的一种方法。可以这样说，数学模型是联系数学和实际问题的桥梁，数学模型方法实际上就是用数学模型解决实际问题的一种方法。由此可见，对我们来说，重要的是怎样建立数学模型。换个说法，就是建立数学模型的全过程。为此，有必要了解一下数学建模的基本步骤：

由这个框图可见，数学建模是从问题开始的，它是一种创造性活动，是为了解决因社会发展的需要而提出来的各种问题。正因为数学建模的重要，对数学建模的研究堪称如火如荼，呈星火燎原之势也就是顺理成章的事了。如果以“数学建模方法”为关键词百度一下的话，谓之《数学建模》《数学建模方法》《数学建模理论与方法》《数学建模方法与分析》《数学建模方法及其应用》等的书籍林林总总，不下数十部，笔者手头就有一本《中学数学应用与建模》（苏州大学出版社，2001）的书，该书的作者是同行友人、苏州大学《中学数学月刊》主编徐稼红教授。至于相关期刊上发表的涉及数学建模的论文更是数以万计，作为对此有过专门研究并在学院亲自开设这门课程的徐先生，就曾在国内数学教育的权威刊物《数学教育学报》2000 年第 1 期发表了“开设‘中学数学建模’课程的实践与认识”的专题论文。值得欣慰的是为推动数学建模方法的应用而设置的全国大学生数学建模竞赛、全国研究生数学建模竞赛已经成了各高校选拔人才的重要平台。数学模型方法以其在社会经济各个领域中显示出的巨大威力正受到越来越多有识之士的青睐，逐渐成为人们喜闻乐见、屡试不爽的有效方法。

革命导师马克思说过：“人类是按美的规律去改造世界的。”由此让人想到了格言：美是真理的光辉。对于数学模型方法，我们似乎可以用简捷的统一美来形容。这种统一美反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性，它能给人一种整体和谐的美感，具体表现为数学方法的统一，这里特指数学模型方法。而这种统一于数学模型的方法带来的是其独有的应用之美，是一种直入心扉、至高深层的大美。“数学建模让我们看到了数学解决问题的魔力，体会了一种震撼心灵的美”，这是全国大学生数学建模竞赛曾经的一等奖获得者团队发出的至深感言，诚哉斯言！这里谨以数学解题为例予以说明。

早在上个世纪九十年代，笔者就在中文核心期刊《数学通报》（1994.4）上以“模型与解题”为题发文，文中写道：“模型方法是一种经典的方法，并非数学所独有，随着科学技术的数学化趋势，使得模型方法早已超越出了数学的范畴，它广泛地应用于自然科学、工程技术与社会科学的一切领域中。就数学而言，模型方法早已成为一种独特的数学方法。”

数学模型方法之美，就在于它把各类问题有机地统一于各个不同的数学模型之中，使得形式各异的问题变得容易通过数学方法予以解决。这里所说的数学模型，有几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等等。就解决数学问题，或者说是解数学题的模型而言，则有函数模型、方程模型、不等式模型、数列模型、三角模型、集合模型等，而在函数模型中，又可分为一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等等。

数学史上运用数学建模方法解决实际问题的例子比比皆是，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个光辉的例证。事实上，大数学家欧拉非常巧妙的将“普雷格尔河穿城而过，并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了 7 座桥。当地居民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地，中间不重复”这个不可能问题转变成一个数学模型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在，从而解决了这个长期困扰人们的七桥问题。这个“一笔画”问题的研究和解决，不仅充分体现了拓扑学的思想，而且引发了数学新分支——图论的诞生，在更大意义上引导了图论和拓扑学的发展，折射出数学模型方法应用美的光芒。

必须指出，数学模型方法是近代才产生的，我们不妨以众人悉知的初等数学解题为例，说明数学模型方法的美妙之处。依据是笔者曾以“对数学解题的认识与思考”为题在《中学数学月刊》2012 年第 3 期上撰文，文中从审美直觉这种形态层面探讨了解题，所举的例子也是较有代表性的，可参阅。兹试举例如下： 问题：围建一个面积为 360m² 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元)。

（1）将 y 表示为 x 的函数；

（2）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

先由问题所给定的材料寻找量与量之间的内在联系，再建立起数学模型。

（1）设矩形的另一边长为 m，则

由已知 x a=360， 得 a=360/x ，所以

此函数比较复杂，抛开常数项，观察发现具有自变量 x 的另外两项呈现出 x 的倒数形式，审美直觉下，容易想到两项相乘就可去掉 x，于是设法建立或者应用数学模型。

（2）

这里用到了基本不等式模型：a²+b²≥2ab（a，b 为实数）推出的又一个数学模型：

只是在这个模型中，条件有所变化，就是 a，b 都为正数了。

∴ y = 225 x +360²/x-360 ≥ 10440，当且仅当 225 x = 360²/x 时，等号成立。

即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元。

有意思的是，用这个基本不等式模型，可以解决类似的问题。比如，

1． 某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡 240 元.并规定不记名，每卡每次只限 1 人，每天只限 1 次.某班有 48 名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为 40 元.要使每个学生游 8 次，每人最少交多少钱？

2． 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 、 (单位： )的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为 . 问 、 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省?

这或许就是数学模型方法在多题一解上的生动体现吧！更进一步地，运用此基本不等式模型，可以解决数学中一类不等式证明、求代数式的最值等问题。甚或还可以解决涉及其它知识点的问题。像，“若直线 x/a + y/b = 1(a>0，b>0) 过点(1，1)，则 a+b 的最小值等于( )”就是联系解析几何的题目，曾经选为福建 2015 年的中考题呢！